První snahy o založení hudební školy v Kopřivnici sahají do roku 1938, kdy dirigent PSK Jan Uhlíř navrhl založit školu na paměť 20. výročí samostatné republiky. Plán však nebyl realizován a snahy o zřízení školy pokračovaly až po druhé světové válce.
Hudební škola se dočkala otevření až 1. října 1954 díky podpoře ZK ROH Tatra. První klavírní třídu vedla Marie Hudacká a výuka probíhala nejprve v Závodním klubu, poté v Osvětovém domě a nakonec v bývalé vile lékaře Dr. Bönische. Zpočátku školu navštěvovalo 41 žáků. Jak počet studentů rostl, přibyly další třídy a obory. V letech 1956–1959 byla škola samostatná, poté se stala pobočkou hudební školy v Příboře.
Důležitým milníkem byl rok 1969, kdy vznikla samostatná Lidová škola umění v Kopřivnici s vlastní ředitelkou Marií Prochaskovou. Přibyly nové obory, například taneční a literárně-dramatický, ale škola stále čelila nedostatku prostor. Situaci částečně vyřešilo přestěhování do budovy bývalé školy u kostela v roce 1977.
V této době navštěvovalo školu 387 žáků a působilo zde 10 učitelů. Významnou součástí činnosti školy byly koncerty a kulturní akce, které získaly velký ohlas.
V 90. letech převzala školu paní ředitelky Hana Vyhlídalové škola. 11. ledna 1994 byl škole udělen Ministerstvem školství čestný název „Základní umělecká škola Zdeňka Buriana“. Zdeněk Burian (1905–1981), významný malíř 20. století, navštěvoval jako dítě pětitřídní obecnou školu v Kopřivnici, kterou stavěl jeho otec. Právě v této budově dnes sídlí hlavní část naší školy. Svým dílem se Burian zařadil mezi nejvýznamnější české výtvarné umělce.
Instituce získala v roce 1995 právní subjektivitu a prošla rozsáhlými stavebními úpravami. Budova se rozšířila o nové prostory v podkroví a přibyly odloučené pobočky ve Štramberku a Rybí.
V letech 2003–2024 vedl instituci pan ředitel Mgr. Zdeněk Babinec. Škola prošla řadou modernizací: od rekonstrukce koncertního sálu, instalace klimatizace a výměny oken po zavedení internetu do všech učeben. V roce 2017 byla realizována velká nástavba, která zvětšila koncertní sál a přinesla nové učebny i moderní vybavení.
Od srpna 2024 převzal školu MgA. Dušan Brus. Cílem školy ZUŠ Zdeňka Buriana je být moderní institucí s kvalitním zázemím.